Статистический анализ и оценка погрешностей измерений

Моментом r го порядка (-целей) случайной величины ξ относительно точки b ( b — действительное) называют число (если оно существует) Если b = 0, то момент называют начальным. Тогда что является математическим ожиданием степени r случайной величины. Если то момент называют центральным. Очевидно, что. Между начальными и центральными моментами существует простая связь. По определению. Отсюда получим выражения для первых четырех моментов, которые широко применяются в статистике Начальным моментом порядка r случайной величины х называют интеграл , (2.19) А для дискретной случайной величины начальным моментом порядка r называется сумма , (2.20) что является математическим ожиданием степени r случайной величины, а Р k — вероятность появления х k . Самым простым и часто применяемым параметром распределения случайных величин момент первого порядка . (2.21) Начальный момент первого порядка называется математическим ожиданием. Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется соотношением , (2.22) где Р k — вероятность появления x k. Свойства математического ожидания: где С = const , ξ , Η — произвольный случайные величины Вторым важным параметром распределения, его числовой характеристикой является центральный момент второго порядка назван дисперсией: . (2.23) Для дискретных величин . (2.24) Дисперсией называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
работа веб моделью

Дисперсия является характеристикой рассеяния размеров относительно математического ожидания и она имеет ясный физический смысл, являясь средней мощностью флюктуаций случайного процесса относительно математического ожидания. Свойства дисперсии: если С = const; Η , Ξ — независимые случайные величины; ξ 1 , ξ 2 ... ξ n — попарно независимые случайные величины Но дисперсия неудобная для оценки как мера рассеяния, имея размерность квадрата случайной величины. В качестве меры рассеяния размеров относительно математического ожидания применяют среднее квадратическое отклонение, за что принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии и которое обозначают σ х (для величины х ) . (2.25) В зарубежной литературе среднее квадратическое отклонение порой называют стандартным отклонением. Медианой распределения F (x) называют такое значение аргумента x = m, для которого выполняется неравенство. Каждый распределение имеет по крайней мере одну медиану. Модой распределения называется каждое значение х , при котором плотность распределения р (х) достигает максимума. Чаще всего встречаются унимодальных (с единственной модой) распределения. При обработке результатов эксперимента часто предполагают, что их распределение является нормальным, хотя именно это надо экспериментально подтверждать. Строгое решение задачи проверки гипотезы о форме кривых распределения возможно при применении методов математической статистики. Но для приблизительной оценки сходства распределения к нормальному используются еще два центральных момента — третьего и четвертого порядков.
Рис.2.5. Зависимость коэффициента асимметрии Рис. 2.6. Зависимость коэффициента от кривых распределения эксцесса от кривых распределения. Центральный момент третьего порядка применяют для оценки асимметрии. Коэффициент асимметрии определяется так: . (2.26) Для симметричных распределений центральный момент любого нечетного порядка равен нулю. Но если кривая распределения асимметрична, то интеграл моментов похилишои и растянутой части кривой будет больше, чем для крутой части, и поэтому момент третьего порядка будет отличным от нуля. Центральный момент четвертого порядка характеризует форму, то есть крутизна спадов распределения и используется для оценки плосковершинности и островершинности кривой распределения при помощи коэффициента эксцесса. Для нормального закона распределения, поэтому коэффициент эксцесса имеет следующий вид: (2.27) Для нормального закона распределения; для гостровершинного распределения; для плосковершинных. Для разных законов распределения эксцесс изменяется от 1 до ∞ . Чтобы классифицировать по форме удобно пользоваться величиной , что называется контрексцесом. Законы распределения случайных погрешностей Равномерное распределение. Если погрешность измерения может иметь с одинаковой вероятностью какие угодно значения, не выходят за некоторые пределы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. При этом плотность вероятности погрешности является постоянной внутри этого интервала и равна нулю вне его. Равномерное распределение результатов наблюдения х показан на рис.2.7. Рис.2.7. Равномерное распределение случайной величины. Для него плотность вероятностей аналитически можно записать так: при (2.28) Равномерное деление безмодальним, то есть не имеет моды, его дисперсия и среднее отклонение, а четвертый момент и контрексцес С таким законом распределения хорошо согласуются погрешности от трения в опорах электромеханических приборов, неудаленные остатки систематических погрешностей, погрешность дискретности в цифровых приборах, погрешности размеров в пределах одной группы сортировки при селективном сборе, погрешности параметров изделий, отобранных в узких, чем технологический допуск, пределах.